BAB I

 

 

PERTIDAKSAMAAN

 

 

 

SIFAT-SIFAT BILANGAN

Berikut adalah beberapa diantara sifat bilangan yang penting dan mendasar yang bermanfaat dalam pengerjaan soal-soal pertidaksamaan

I.                                 a ³ b Þ a > b atau a = b

II.                               a > b Û a – b > 0                                      a < b Û a – b < 0

a > b Û a ± c > b ± c                                       a < b Û a ± c < b ± c

a > b Û a . c > b. c, jika c > 0                          a < b Û a . c < b. c, jika c > 0

a > b Û a . c < b . c, jika c < 0                         a < b Û a . c > b . c, jika c < 0

Catatan : sifat-sifat pada kolom kanan kita peroleh dengan menggantikan peran bilangan a dan bilangan b

III.                             Untuk sembarang bilangan a berlaku a² ³ 0

IV.                              a b > 0 Û (a > 0 dan b > 0) atau (a < 0 dan b <0 )

        a b < 0 Û (a > 0 dan b < 0) atau (a < 0 dan b >0 )

        a b > 0 Û  > 0 ; a b < 0 Û  < 0

V.                                a > b dan b > c Þ a > c

PERTIDAKSAMAAN POLINOM DAN PECAHAN

Definisi   Fungsi f (x) disebut definit positif  jika f(x) > 0 berapapun nilai x

Fungsi f (x) disebut definit negatif  jika f(x) < 0 berapapun nilai x

Sifat  Untuk f(x) definit positif dan g(x) sembarang, berlaku

f(x) .  g(x) > 0 Þ g(x) > 0

f(x) .  g(x) < 0 Þ g(x) < 0

Sifat  Untuk  f(x) definit negatif dan g(x) sembarang, berlaku

f(x) .  g(x) > 0 Þ - g(x) > 0

f(x) .  g(x) < 0 Þ - g(x) < 0

Perhatikan lagi sifat diatas. Pertidaksamaan yang melibatkan perkalian dengan fungsi definit dapat disederhanakan dengan mengganti tanda definit.

[i]

 

Berikut ini adalah langkah penyelesaian pertidaksamaan bentuk pangkat tinggi (suku banyak) dan pecahan dari bentuk suku banyak.

Langkah penyelesaian :

1.           Ruas kanan dibuat nol .

2.           Ruas kiri difaktorkan. Hasilnya adalah perkalian bentuk linier (ax + b) dan bentuk definit.

3.           Sederhanakan yang definit dengan mengganti tanda definitnya.

4.           Menentukan nilai  positif, negatif dan pembuat  nol (pembilang ataupun penyebut)  pada garis bilangan. Langkah-langkahnya dapat dirinci sebagai berikut …

a.        Pembuat nol. Pada pembilang mengasilkan nol, pada penyebut tidak terdefinisi.

b.       Tanda bilangan bagian paling kanan akan sama dengan tanda koefisien pangkat tertinggi dari ruas kiri pertidaksamaan.

c.        Apabila melewati pembuat nol yang faktor liniernya berpangkat ganjil tanda akan berubah dan melewati pangkat genap tanda akan tetap.

PERTIDAKSAMAAN TANDA MUTLAK

Definisi      | x | =

Sifat-sifat

1. Untuk semua harga x berlaku

| x | ³ 0

 = | x |

| x | = | - x |

| x |² = x²

2. Untuk semua harga x dan y berlaku

| x  ± y | £ | x | + | y |

| x  ± y | ³ | x | - | y |

| x  .  y | = | x | .  | y |

| x  /  y | = | x |  / | y |

3. Untuk bilangan a < 0 berlaku

| x | ³ a Þ x sembarang bilangan real

| x | £ a Þ x tidak punya penyelesaian

4. Untuk bilangan a > 0 berlaku

| x | ³ a Þ (x - a) (x + a) ³ 0 Þ x £ -a atau x ³ a

| x | £ a Þ (x - a) (x + a) £ 0 Þ  -a £ x £ a

PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

Berikut ini beberapa sifat dan rumus yang akan digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan melibatkan fungsi irrasional ( baca:  ).

1.     Jika y = , maka          a.  f(x) ³ 0 (sarat terdefinisi atau domain)

                                                        b. y ³ 0 (hasil atau  range bentuk akar)

2. Untuk bilangan  a < 0  berlaku

 £ a Þ HP = Æ

 ³ a Þ HP = {x | f(x) ³ 0 }

3. Untuk bilangan a >0 berlaku

 £ a Þ HP = {x | f(x) ³ 0} Ç{x | f(x) £ a²}

 ³ a Þ HP = {x | f(x) ³ 0} Ç{x | f(x) ³ a²}

4.  £  Þ HP = {x | f(x) ³ 0} Ç{x | g(x) ³ 0} Ç{x | f(x) £ g(x)}

 ³  Þ HP = {x | f(x) ³ 0} Ç{x | g(x) ³ 0} Ç{x | f(x) ³ g(x)}

Soal-soal yang Dipecahkan

SIFAT-SIFAT BILANGAN

1.Bila x ¹ 0 dan p = x + , maka buktikan bahwa  p £ -2 atau p ³ 2

 

 Perhatikan p² = (x + )²  = (x - )² + 4 x = (x - )² + 4. Karena (x - )²  ³ 0, maka p² ³ 4.         Akibatnya p² - 4 ³ 0 Þ (p -2) (p + 2) ³ 0 Þ p £ -2 atau p ³ 2

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN DAN POLINOM

2.Tentukan himpunan penyelesaian (-2x² + x - 9) (x³ – x² - 6x) < 0

perhatikan   (-2x² + x - 9) (x³ - x² – 6x) < 0  

Þ ( -) (x³ - x² -6x) < 0 

Þ -x (x² - x - 6) < 0

Þ -x( x - 3) ( x + 2) < 0

 

Jadi -2 < x < 0 atau x >3

 

3.Tentukan himpunan penyelesaian   ³ 

  perhatikan  -  ³  0 Þ  ³ 0 Þ  ³ 0

Karena pembilang definit positif, maka  ³ 0

 

Jadi -3 < x < 2

4.Tentukan himpunan penyelesaian  £ 0

x2 + x + 3 definit (+)

x2 + x + 3 definit (+)

 £ 0

 £ 0

Jadi HP = { x | -2 £ x < 0 atau 0 < x < 1 atau x = 2 }

Perhatikan Pembuat nol pembilang yaitu  -2 dan 2 disertakan pada daerah HP. sedangkan pembuat nol penyebut yaitu 0 dan 1 tidak terdefinisi.

Koefisien pangkat tertinggi adalah (+), Jadi tanda (kanan) dimulai dengan (+).

Untuk 2 faktor liniernya pangkat (2) genap, maka tanda berikutnya tetap (+).

Untuk 1 faktor liniernya pangkat ganjil jadi tanda berikutnya berubah (-).

Untuk 0 faktor liniernya pangkat (3-1) genap, jadi tanda berikutnya tetap (-).

Untuk -2 faktor liniernya pangkat ganjil, jadi tanda berikutnya berubah (+)

.

PERTIDAKSAMAAN TANDA MUTLAK

5.Untuk x ³ 2 sederhanakan bentuk + | x - 1 |²  + | 1 - x | = …

 

1.      =  = |x - 2|. Karena x - 2 ³ 0, maka |x -2| = x - 2 sehingga kita peroleh  = x - 2.

2.     | x - 1 |² = (x -1)² = x² - 2x + 1

3.     Karena x ³ 2  dan  2 > 1 Þ x > 1 Þ 1 - x < 0 Þ |1 - x| = -(1 - x) = x - 1

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh

+ |x - 1|²  + |1 - x| = x - 2 + x² - 2x + 1 + x - 1 = x² - 2

6.Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x - 2|² ³ 2 - |x - 2|

Misalkan p = |x -2| Þ p² + p - 2 ³ 0 Þ (p + 2) ( p -1) ³ 0

Perhatikan gambar p £ -2 atau p ³ 1

Untuk p = |x - 2| £ -2 tidak ada penyelesaian

Untuk p = |x - 2| ³ 1 Þ x - 2 £ -1 atau x - 2 ³ 1

Þ x £ 1 atau x ³ 3

PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

7.Tentukan himpunan penyelesaian dari £

perhatikan  :    Syarat perlu :    x  +  1 ³ 0 Þ x ³ -1……… (1)

3x – 4 ³ 0 Þ x ³ 4/3 ……. (2)

Dari £ Þ x  +  1 ³ 3x – 4 Þ x £ 5/2……..(3)

Dari (1), (2) dan  (3) didapat HP = {x½ 4/3 x £ 5/2}

SOAL-SOAL UMPTN

8.     Nilai x yang memenuhi pertaksamaan     >     ialah :

        (Matematika ‘89 Rayon A)

        a.     x > -12/5     b.  x < -12/5     c.  x > 4/5 d.    x > -4/5           e.    x < -4/5

        Jawab : B

        >  Þ -4x/3 > 6x - 4x + 8 Þ -4x > 6x + 24

Þ -10x > 24 Þ x < -12/5

9.     Himpunan penyelesaian pertaksamaan  | x² – x –1 | > 1 adalah :

        (Matematika ‘90 Rayon A)

        a.     { x | x < - 1 } È { x | –1 < x <  1 } È { x | x > 1 }

        b.     { x | x < - 1 } È { x | 0 < x <  2 } È { x | x > 2 }

        c.     { x | x < - 1 } È { x | –1 < x <  1 } È { x | x > 2 }

        d.     { x | x < - 1 } È { x | 0 < x <  1 } È { x | x > 1 }

        e.     { x | x < - 1 } È { x | 0 < x <  1 } È { x | x > 2 }

        Jawab : E

(x² – x – 1)² > 1²  Þ (x² – x – 1)² –  1² > 0

Þ (x² – x – 2) (x² – x ) > 0 (karena a² – b² = (a – b) (a + b) )

Þ (x – 2) (x + 1) (x – 1) x > 0

 

                 

                                x < -1  v  0 < x < 1  v  x > 2

10.   Pertidaksamaan < mempunyai himpunan jawab :

        (Matematika ‘90 Rayon B)

        a.     {x | - 1 < x < 2}                                      d. {x | 1 £ x < 2 atau -1 < x  0}

        b.     {x | - 1 < x < 2}                                      e. {x | 1 £ x £ 2 atau -1 £ x £ 0}

        c.     {x | - 1 £ x £ 2}

       

        Jawab : D

        1.     x² - x < 2 Þ x² - x - 2 < 0

Þ (x - 2) (x + 1) < 0

2.     syarat :           x² - x ³ 0

                                x(x - 1) ³ 0

        Dari 1 dan 2 diperoleh -1 < x  £ 0 atau 1  £ x < 2

11.   Nilai x yang memenuhi persamaan  <   adalah :

        (Matematika ‘90 Rayon C)

        a. -3/5 > x                         c. -5/3 < x  £ 1                     e.   -3  £ x  £ 1      

        b. -5/3 < x                        d.   -3  £ x < 5/3                  

        Jawab : C

        1.     1 - x < 2x + 6 Þ     -3x < 5 Þ  x > -5/3

        2.     syarat :                   1 - x  ³ 0                 ;  2x + 6  ³ 0

    x £ 1                         2x  ³ -6

                                                                                    x  ³ -3

        Jadi diperoleh  -5/3 < x  £ 1

12.     Himpunan semua x yang memenuhi pertidaksamaan | 2x + 1| < | 2x - 3|  adalah :

       (Matematika ‘93 Rayon A)

        a. {x | x < -1/2}                     c. {x | x < 3/2}                          e.   {x | x > 3/2}           

        b.  {x | x < 1/2}                       d.  {x | x > 1/2}

        Jawab : B

        (2x + 1)² < (2x - 3)² Þ 4x² + 4x + 1  < 4x² - 12x + 9 Þ16x < 8 Þ x < 1/2

14.   Nilai x yang memenuhi pertaksamaan  | 3x  + 1| < 2 | x - 6| adalah :

        (Matematika ‘93 Rayon B)

        a. x < -13 atau x > 11/5                 d. -13 < x < 13

        b. x < -11/5 atau x > 13                                e. -13 < x < 11/5

        c. -11/5 < x < 13

        Jawab : E

        (3x + 1)² < 4(x - 6)²

        9x² + 6x + 1 < 4(x²  - 12x + 36)

        9x² + 6x + 1 < 4x² - 48x + 144

        5x² + 54x - 143 < 0

        (5x - 11) (x + 13) < 0

        jadi didapat -13 < x < 11/5

15.  Jika x ³ 1 dan x |x - 1| +  |x| (x -1) £ 2x, maka x harus memenuhi :

        (Matematika ‘93 Rayon C)

        a. x ³ 2                            c. 0 £ x £ 2                              e.   1 £ x £ 4           

        b. x  £ 3                           d.   1 £ x £ 2                          

       

        Jawab : D

x ³ 1 Þ x – 1 ³ 0 Þ |x - 1| = x - 1 

x ³ 1 > 0 Þ  |x | = x

Jadi   x |x - 1| + |x| (x - 1) £ 2x   Þ x (x - 1) + x (x - 1) £ 2x

Þ x² - x + x² - x  - 2x £ 0